จำนวนจริง Real Numbers

Details
Category: จำนวนจริง Real Numbers
Hits: 252175

กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 3.3.1 การแยกตัวประกอบของพหุนาม

ใน การเรียนแยก ตัวประกอบพหุนาม ใน  เนื้อหาจำนวนจริง ในบทนี้ เป็น โจทย์

แบบฝึกหัด แยกตัวประกอบ โดย เริ่มจาก การหา ผลคูณของพหุนาม และ

แยกตัวประกอบของพุนาม ซึ่งใน แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบ นี้มีแบบฝึกหัด พหุนาม

จำนวนมาก และน่าสนใจ ที่จะได้ทำการฝึกฝนและทำความเข้าใจอย่างยิ่ง

ใน แบบฝึกหัด แยกตัวประกอบของพหุนาม ข้อสุดท้ายเป็นการหาตัวประกอบ

ของพหุนาม โดย การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งได้จัดทำอย่างละเอียด

เพื่อง่ายต่อการทำความเข้าใจครับ

การแยกตัวประกอบ ของพหุนามนี้ เป็นพื้นฐานที่สำคัญครับ เพราะจำเป็นต้องใช้

ในการเรียน ของทุกสาขาวิชา ที่น้อง ๆ สนใจ ครับ 

1.
       		 จงหาผลคูณ  
 

1.

 

(x+1)(x-1)

 

=    x2+( x - x ) - 1  

=    x2 + 1    
 

2.

 

(x+3)(x-3)

 

=    x2- 3x + 3x - 9

=    x2- 9
  3. (2x+3)(2x-3)

=    4x2+ 6x -6x - 9

=    4x2 - 9
 

4.

 

(5x+4)(5x-4)

 

=    25x2+ 20x -20x -16

=    25x2- 16
 

5.

 

(3x+1)(3x-1)

 

=    9x2+3x -3x -1

=    9x2- 1
 

6.

 

 (x-5)(x-5)

 

=    x2-5x +5x +25

=    x2 + 25
 

7.

 

(5x-4)(5x-4)

 

=    25x2-20x -20x +16

=    25x2-40x + 16
 

8.

 

(3x-1)(3x-1)

 

=     9x2- 3x -3x + 1

=     9x2- 6x + 1
 

9.

 

(2x+1)(3x+2)

 

=     6x2+ 3x + 4x + 2

=     6x2+ 7x + 2
 

10.

 

(4x+2)(x+4)

 

=     4x2+ 2x + 16x + 8

=     4x2+ 18x + 8
2.   จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้  
  1. x2 -25x =     x (x - 25 ) 
  2. x3 -4x2 =     x2(x - 4 )
  3. x4 -4x =    x( x3- 4) 
  4. 15x2 -25x =    5x(3x - 5 ) 
  5. 81x2 -x =    x(81x - 1 ) 
  6. 7x2 +49 =    7x(x + 7 ) 
  7. 88x3 +8x2 =    8x(11x + 1) 
  8. 13x4 +x2 =    x2(13x + 1 ) 
  9. 5x3 +15x2 =    5x2 (x + 3 )
  10. 100x4+10x3 =    10x3 (10x + 1 )
  11. x2+3x-4 =    (x - 1)(x + 4) 
  12. x2+10+25 =    (x + 5)(x +5)  
  13. x2+6x+9 =    (x + 3)(x +3) 
  14. x2+4x+4 =    (x + 2)(x +2)  
  15. x2+8x-20 =    (x - 2)(x + 10) 
  16. x2-10x+25 =    (x - 5)(x - 5) 
  17. x2-14x+49 =    (x - 7)(x - 7) 
  18. x2+6x-16 =    (x - 2)(x + 8)  
  19. x2+6x+8 =    (x + 4)(x + 2) 
  20. x2+x-30 =    (x - 5)(x + 6) 
  21. x2+13x+30 =    (x + 10)(x + 3) 
  22. x2+8x+7 =    (x + 7)(x + 1)
  23. x2+10x+21 =    (x + 7)(x + 3)  
  24. x2-5x-50 =    (x - 10)(x + 5) 
  25 x2+9x+20 =    (x + 5)(x + 4) 
  26. x2-10x-11 =    (x - 11)(x + 1) 
  27. x2+14x+13 =    (x + 13)(x + 1) 
  28. 3x2 +10x+3 =    (3x + 1)(x + 3)  
  29. 2x2+x-6 =    (2x - 3)(x + 2)  
  30. 2x2-x-1 =    (x - 1)(2x + 1) 
  31. 8x2-2x-3 =    (4x - 3)(2x + 1) 
  32. 25x2+15x+2 =    (5x +2)(5x + 1) 
  33. 4x2+5x-9 =    (4x + 9)(x - 1) 
  34. 3x2+4x-15 =    (3x - 5)(x + 3) 
  35. 4x2-1 =    (2x - 1)(2x + 1) 
  36. 25x2-1 =    (5x - 1)(5x + 1) 
  37. 9x2-4 =    (3x - 2)(3x + 2)  
 

38.

 

x4-x2   

 

=    x2(x2 - 1)

=    x2 (x - 1)(x + 1)
 

39.

 

x3-25x

 

=    x(x2 - 25)

=    x(x - 5)(x + 5)
 

40.

 

x4-4x2

 

=    x2 (x2- 4)

=    x2(x - 2)(x + 2)
3.  

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

 โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

  
    
  1. x2+ 4x - 32

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ  x2+ 4x - 32

                            =  x2+ 2(2)x - 32

                            =  x2 + 2(2)x + 22 - 32 - 22   

                            = (x + 2 )(x + 2)  -32 - 4

                            = ( x + 2 )2  - 36

                            = ( x + 2 )2  -  62 

                            = (( x + 2 ) - 6) (( x + 2 ) + 6 )

                            = ( x + (2 - 6) ) ( x + (2 + 6) )

                            = ( x - 4 ) ( x + 8 )

 
  2. x2-2x-3

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ    x2-2x-3

                            = x2 - 2(1)x -3

                            = ( x2  -2(1)x + 12 )  -3 - 12    

                            =  ( x - 1 )( x - 1 ) - 4

                            =  ( x - 1 )2  - 22

                            = (( x - 1 ) - 2 ) ((x - 1 ) + 2 )

                            =  ( x - 3 ) (x + 1 )

 
  3. x2-4x+2

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ   x2-4x+2    

              =  x2-2(2)x  + 2

              = ( x2 - 2(2)x  + 22)+ 2 - 22

              = (x - 2)(x-2) + 2 - 4

              = (x - 2)2  + ทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

              = ((x - 2) - แยกตัวประกอบ ) ((x - 2) + แยกตัวประกอบ )

              = ( x - (2 + จัดหมู่ใหม่ )) ( x - (2  - จัดหมู่ใหม่ ))

 
  4. x2 + 8x - 5 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ   x2 + 8x - 5

              =  x2+ 2(4)x - 5

              = ( x2+ 2(4)x + 42 ) - 5 - 42             

              = ( x + 4 ) (x + 4 ) - 5 - 16

              = ( x + 4 )2 -  21 

              = ( x + 4 )2 -  ทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

              =(( x + 4 )-  แยกตัวประกอบ ) (( x + 4 )+ แยกตัวประกอบ )

              =( x + (4  -  จัดหมู่ใหม่ )) ( x + (4  +  จัดหมู่ใหม่ ))

 
  5. x2+6x+2

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ    x2 + 6x + 2

              = x2 + 2(3)x + 2  

              = ( x2+ 2(3)x + 32 ) + 2 - 32 

              = ( x + 3 )( x + 3 ) - 7

              = ( x + 3 )2  - 7

              = ( x + 3 )2  - ทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์           

              = (( x + 3 )  - แยกตัวประกอบ)  (( x + 3 ) + แยกตัวประกอบ)

              = ( x + (3   - ทำการจัดหมู่ใหม่))  ( x + ( 3  + ทำการจัดหมู่ใหม่))

 
  6. x2 + 8x + 14 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ      x2 + 8x + 14

      =  x2 + 2(4)x + 14

      =  ( x2 + 2(4)x + 42 ) + 14 - 42   

      =  (x + 4 )( x + 4 )  -2

      =  (x + 4 )2  - 2

      =  (x + 4 )2  - ทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์                     

      =  ( (x + 4 )  - แยกตัวประกอบ  ) ( (x + 4 ) + แยกตัวประกอบ  )

      =  ( x + ( 4   - ทำการจัดหมู่ใหม่ ) ) ( x + ( 4  + ทำการจัดหมู่ใหม่ ) )

 
  7. x2 - 10x + 7  แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ       x2 - 10x + 7

     =   x2 - 2(5)x + 7

     =  ( x2 - 2(5)x + 52 ) + 7 - 52

     =  ( x - 5 )( x - 5 ) - 18

     =  ( x - 5 )2 -  18

     =  ( x - 5 )2 -  ทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

     = ( ( x - 5 )-  แยกตัวประกอบ )  ( ( x - 5 )+   แยกตัวประกอบ )

     = ( x - (5  +   จัดหมู่ใหม่ ) ) (  x - (5  -   จัดหมู่ใหม่ ) )

 
  8. x2 + 7x + 11 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ      x2 + 7x + 11

      =  x2 + 7x + 11

      =  x2 +จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป x^2 +2ax + a^2 + 11   

      = (  x2 + จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป x^2 +2ax + a^2   +  จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป A^2 +2AB + B^2 )+ 11  -  นำค่าที่เพิ่มเข้ามาในสมการลบออก ค่าของสมการคงเดิม

      = (  x  +  จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป x^2 +2ax + a^2 = (x+a)(x+a) ) (  x  +  จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป x^2 +2ax + a^2 = (x+a)(x+a) )  + ( 11  - จัดหมู่ใหม่ )

      = (  x  +  จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป (x+a)(x+a) = (x + a)^2  )2  -   5/4 

       = (  x  +  7/2 )2    -  ทำให้อยู่ในรูปกำลังสอง x^2 - a^2 

       = ( (  x  +  7/2 )   -  x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) ) ( (  x  +  7/2 )   +  ตัวประกอบ )

       = (   x  + ( 7/2    -  ตัวประกอบ ) ) (   x  + ( 7/2    +  ตัวประกอบ ) )

 
  9. x2 - 2x 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ     x2 - 2x

               =  x2 - 2(1)x

               =  ( x2 - 2(1)x + 12 ) - 12

               =  ( x - 1 ) ( x - 1 ) - 12   

               =  ( x - 1 )2  - 12     

               =  (( x - 1 )  - 1 ) ( ( x - 1 )  + 1 )    

               =  ( x - 1   - 1 ) ( x - 1  + 1 )                    

               =  ( x - 2 ) ( x)

 
  10. x2 + 4x 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ       x2 + 4x

              =  x2 + 2(2 )x

              = ( x2 + 2(2 )x + 22 ) - 22 

              = ( x + 2) ( x + 2 ) - 22

              = ( x + 2)2  -  22 

              = (( x + 2)  -  2  ) (( x + 2)  +  2) 

              = ( x + ( 2  -  2) ) ( x +( 2  +  2))

              = ( x )( x + 4 )

 
  11. - 2x2 - 8x + 8 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ       - 2x2 - 8x + 8

      = - 2x2 - 8x + 8

      =  -2 [ (x2+ 2(2)x  + 22) - 4 - 22 ]           

      =  -2 [ (x + 2) (x + 2) - 8 )

      =  -2 [(x + 2 )2  - จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) ]

      =  -2 [ (( x + 2  ) - ตัวประกอบ) ((x + 2 ) +  ตัวประกอบ ) ]

      =  -2 [ ( x +  ( 2  - ตัวประกอบ)) (  x + (2  + ตัวประกอบ )) ]

 
  12. 8 + 4x - x2

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ      8 + 4x - x2

     =    - [ x2  - 4x  - 8  ]     

     =    - [ x2  - 2(2) x  - 8  ]     

     =    - [( x2  - 2(2) x  + 22 )  - 8  - 22  ]

     =    - [( ( x - 2 ) ( x - 2 ) ) - 12  ]       

     =   - [  ( x - 2 )2  -  จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)  ]     

     =    - [ (( x - 2 )  -  ตัวประกอบ )  (( x - 2 )  +  ตัวประกอบ ) ]   

     =    - [ ( x - ( 2   +  ตัวประกอบ ) )  ( x - ( 2   -  ตัวประกอบ )) ]

   
  13. - 3x2 + 6x + 4 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ      - 3x2 + 6x + 4

      =  - 3 [ x2 -  2x  - 4/3  ]     

      =  - 3 [ x2 -  2(1) x  - 4/3  ]   

      =  - 3 [ ( x2 -  2(1) x   + 12 )  - 4/3  - 12   ] 

      =  - 3 [ ( ( x - 1 ) ( x - 1 ) )  - 4/3  - 12   ]   

      =  - 3 [ ( ( x - 1 )2 )  -  7/3   ]   

      =  - 3 [ ( ( x - 1 )2 )  -  ทำให้อยู่ในรูป x^2 - a^2   ]   

      =  - 3 [ ( ( x - 1 ) - แยกตัวประกอบจาก x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)  )  ( ( x - 1 ) +  แยกตัวประกอบจาก x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)  )  ] 

      =  - 3 [ (  x -  ( 1  + ตัวประกอบ)  )  (  x  -  ( 1  -  ตัวประกอบ ) ) ] 

 
  14. 4x2 - 4x - 9 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ       4x2 - 4x - 9

    =   4 [ x2 - x -  9/4 ]

    =   4 [ x2 - 2 ( 1/2 ) x  -  9/4 ]

    =   4 [ x2 - 2 ( 1/2 ) x  +   ตัวประกอบ   -  9/4 -  ตัวประกอบ  ]

    =   4 [ (x  -  1/2 )  (x  + 1/2 )    -   10/4  ]

    =   4 [ (x  -  1/2 )2   -   ทำให้อยู่ในรูป a^2   ] 

    =   4 [( (x  -  1/2 )  - แยกตัวประกอบ x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) )  ( (x  -  1/2 )  + แยกตัวประกอบ x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) )]

    =   4 [( x  - ( 1/2   + จัดหมู่ใหม่ ))  ( x  - ( 1/2   - จัดหมู่ใหม่) )]

    =   4 [( x  - ( ตัวประกอบ ))  ( x  - ( ตัวประกอบ ) )]

 
  15. - 3x2 + 6x + 2 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ      - 3x2 + 6x + 2

     =  - 3 [ x2  - 2x   - 2/3  ]

     =  - 3 [ x2  - 2(1)x   - 2/3   ]

     =  - 3 [ ( x2  - 2(1)x  + 12 ) - 2/3  - 12  ]

     =  - 3 [ ( ( x  - 1 )  ( x  - 1 ) )  - 2/3  - 12  ] 

     =  - 3 [  ( x  - 1 )2    - 2/3  - 12  ]  

     =  - 3 [  ( x  - 1 )2    -  5/3  ]  

     =  - 3 [  ( x  - 1 )2   -   จัดตัวประกอบให้อยู่ในรูป x^2 - a^2  ]

     =  - 3 [ ( ( x  - 1 )  - แยกตัวประกอบ x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) ) ( ( x  - 1 )   +  แยกตัวประกอบ x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) ) ]

     =  - 3 [ (  x  - ( 1   +  ตัวประกอบ) ) (  x  - ( 1    -  ตัวประกอบ )) ]  

 
  16. - 2x2 + 2x + 1 

แยกตัวประกอบของพหุนาม

โดยทำให้เป็น กำลังสองสมบูรณ์

วิธีทำ     - 2x2 + 2x + 1

    =  - 2[ x2  - x  - 1/2 ]

    =  - 2[ x2  - 2( 1/2 )x  - 1/2 ]  

    =  - 2[ ( x2  - 2 ( 1/2 )x  + (1/2)^2 ) - 1/2 -  (1/2)^2 ]  

    =  - 2[ (( x -  1/2 ) ( x -  1/2 ))  - 3/4  ]  

    =  - 2[ ( x -  1/2 )2  - 3/4  ]    

    =  - 2[ ( x -  1/2 )2  -   ทำให้อยู่ในรูปยกกำลังสอง  ]  

    =  - 2[ ( ( x -  1/2 )   -แยกตัวประกอบ x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) )  ( ( x -  1/2 )   + แยกตัวประกอบ x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) )  ]  

    =  - 2[ (  x - (  1/2    + จัดหมู่ใหม่) )  (  x  -  ( 1/2    - จัดหมู่ใหม่ ) ) ]

    =  - 2[ (  x - ( ตัวประกอบ ) )  (  x  -  (  ตัวประกอบ ) ) ]  

 
     ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน Facebook