เซต SET

2.  หาสับเซตทั้งหมด ของเซตต่อไปนี้ และ เพาเวอร์เซต P(A)

 2.1  A = {a,b,c}

      จำนวน สับเซตทั้งหมดของ  A  หรือ  n( A ) =  2ⁿ

      เมื่อ  n  เป็นจำนวนสมาชิก

      n ( A )     =   2³   

ได้ จำนวนสับเซต  =  8 

ดังนั้น จะได้สับเซตทั้งหมดของ A คือ

1.  { a }

2.  { b }

3.  { c }

4.  { a,b }

5.  { b,c }

6.  { a, c }

7.  { a,b,c }

8 .  Ø      เพราะ เซต ว่าง  เป็นสับเซตของทุกเซต  ****

เมื่อเราหาสับเซตทั้งหมดได้ เราก็สามารถบอกได้ว่าอะไรเป็น

สับเซต  c  หรือว่าไม่เป็นสับเซต ¢

1.  { a }   ⊂  A

2.  { b }   ⊂  A

3.  { c }   ⊂  A

4.  { a,b }    ⊂  A

5.  { b,c }    ⊂  A

6.  { a, c }   ⊂  A

7.  { a,b,c } ⊂  A

8 .  Ø          ⊂  A       

หา  เพาเวอร์เซต P(A)   

P(A) = {{ a } ,{ b },{ c },{ a,b },{ b,c },{ a,c },{ a,b,c }, Ø }

2.2  P(Ø) =  {Ø}          

2.3  P({1}) =  {{1}, Ø }         

2.4  P({0,1})  ={{0},{1},{0,1},Ø}

ข้อสังเกตุ

เมื่อมีเซทเราหาสมาชิกของเซทได้ก็ หาสับเซท , เพาเวอร์เซทได้  

     a       ∈   A              เมื่อ a  เป็นสมาชิกของ  A

  { a }    ⊂   A              เอาปีกกาใส่ เป็นเซทของ a  คือ {a}

                                   เป็นสับเซท ของ  A

 {{ a }}  ⊂   P(A)    

                                  เอาปีกกาใส่ เซท a  ด้านซ้าย    

                                  ด้านขวาใส่ เพาเวอร์เซท                 

 จะนำไปใช้ได้อย่างไร สำหรับความสัมพันธ์  ระหว่าง  เซท  สับเซท  และ เพาเวอร์เซท

 2.5   กำหนดให้ A = {a,b,c}  

        จงหาว่า       {{{ a,c }}}  ⊂  P(A)    จริงหรือไม่ ?

วิธีทำ  เรากำลังหาว่าเซทดังกล่าวเป็น เป็นสับเซทของเพาเวอร์เซท A หรือไม่

 จากโจทย์     {{{ a,c }}}      ε     P(A)

                 {{{ a,c }}}     ⊂     P(A)     ซ้ายตัดวงเล็บ / ขวาตัด P()

                   {{ a,c }}      ⊂      A    

                   {{ a,c }}      ⊂      A      ซ้ายตัดวงเล็บ

                                                         เปลี่ยน ⊂  เป็น สมาชิก  ∈ 

                     { a,c }       ∈     A        

     เราจะได้ว่า    { a,c }        ε     A  ไม่เป็นจริง

    เพราะ           { a,c }       ε     A

    ดังนั้น  จะได้ว่า  {{{ a,c }}}    ⊂    P(A)   ไม่เป็นจริง

 2.6   กำหนดให้ A = { 0,1,2,3,{1,2},{3}}  

        จงหาว่า       {{{{ 1,2 }}}}  ⊂  P(P( P(A)))    จริงหรือไม่ ? 

วิธีทำ  เรากำลังหาว่าเซทดังกล่าวเป็น เป็นสับเซทของเพาเวอร์เซท A หรือไม่ ?

 จากโจทย์

         {{{{{ 1,2 }}}}}    ⊂    P(P( P(A)))

ดังนั้น

         {{{{{ 1,2 }}}}}    ⊂    P(P( P(A)))    ซ้ายตัดวงเล็บ / ขวา ตัด P()

           {{{{ 1,2 }}}}     ⊂       P( P(A))     ซ้ายตัดวงเล็บ / ขวา ตัด P()

             {{{ 1,2 }}}      ⊂            P(A)      ซ้ายตัดวงเล็บ / ขวา ตัด P()

               {{ 1,2 }}       ⊂              A        ซ้ายตัดวงเล็บเปลี่ยนเป็น ∈

                 { 1,2 }         ∈              A

เมื่อเปลี่ยนจนถึงขั้นนี้เราก็จะได้ว่า  { 1,2 }  เป็นสมาชิกของ A

ตรวจสอบดู ที่ A  แล้ว พบว่า  { 1,2 }  เป็นสมาชิกของ A เป็นจริง

สรุปได้ว่า

           {{{{{ 1,2 }}}}}    ⊂    P(P( P(A)))       เป็นจริง

2.7   ถ้าเซต A มีสมาชิก  3  ตัว จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

       ของเพาเวอร์เซต A  มีเท่าไร

วิธีทำ   จากโจทย์ให้หา    n(P(P(A))

          n(A)    =  3           (จำนวนสมาชิกของ A  เท่ากับ 3 )

      n(P(A))    =  2³ 

                     =  8

  nP((P(A)))    =  2⁸ 

                     =  256    สมาชิก

การดำเนินการของเซต

1. ยูเนียน (Union)   

2. อินเตอร์เซกชั่น (Intersection)

3. คอมพลีเม้นท์ (Complement) 

4. ผลต่าง (Difference)

1. ยูเนียน (Union)   

ยูเนียน ของ A  และ B คือเซทที่ประกอบด้วยสมาชิกของ  A หรือของ  B

เขียนแทนด้วย  A U B

       A U B  ={ x |  x ε  A  หรือ  x ∈  B }

เมื่อเขียน แผนภาพของเวนน์ ได้ดังนี้

A U B  นำเอามารวมกัน

2. อินเตอร์เซกชั่น (Intersection)

อินเตอร์เซกชั่น ของ A  และ B คือเซทที่ประกอบด้วยสมาชิกของ ทั้ง A และ  B

เขียนแทนด้วย  A  B

       A ∩ B  ={ x |  x ε  A  และ  x ∈  B }

เมื่อเขียน แผนภาพของเวนน์ ได้ดังนี้   

A ∩ B สมาชิกที่ซ้ำกัน

3. คอมพลีเม้นท์ (Complement) 

คอมพลีเม้นต์ของเซต A  คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิก ซึ่งเป็นสมาชิกของ

เอกภพสัมพัทธ์ (U)  แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A

เขียนแทนด้วย  A'   

         A'    =  { x| x ε  U  และ  x  ∉  A} 

เมื่อเขียน แผนภาพของเวนน์ ได้ดังนี้ 

          A'  นอกเหนือจาก  A

4. ผลต่าง (Difference)

ผลต่าระหว่างเซท  A และเซท B  คือเซทที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซท A

ซึ่งไม่เป็น สมาชิกของเซท  B

        A -  B  = { x ε  U | x ε  A  และ  x ∉  B }  

เมื่อเขียน แผนภาพของเวนน์ ได้ดังนี้ 

               A -  B  เลือกที่   A  ที่ไม่ซ้ำกับ  B

              AUB = n(A) + n(B) - n(A∩B)

AUBUC =n(A) + n(B)+ nC) - n(A∩B)- n(B∩C)- n(A∩C) + n(A∩B∩C)

3.    เพื่อความเข้าใจที่ชัดเจน มาดูแบบฝึกหัดเรื่องเซท ดังนี้

      วาดและหาแผนภาพของเวนน์ แรงเงาของรูปต่อไปนี้

       กำหนดให้ A ,B เป็นเซทได้เขียน แผนภาพของเวนน์ ได้ดังนี้

หาการดำเนินการของเซต ดังต่อไปนี้

3.1   (A ∩ B) '

 3.2    A' ∩ B'

 3.3  ( A U B )'

 3.4     ( A' ) '

 3.5   ( A ∩ A' )

 3.6  ( A  ∩ B ) U ( B - A )

 3.7  (A - B ) U (B - A ) U ( A ∩ B )

 3.8    B' - A

 3.9    (B')'  ∩  A '

 3.10   U - ( A' U B')

 3.11   ø -  A

 3.12   A  ∩ -  A

 3.13   A  U  - A

 3.14   - (A U B)

 3.15   A U ( A ∩ B)

 3.16   A ∩ ( A U B)

  กำหนดให้ A ,B , C เป็นเซท ดังรูป  

  วาดและหาภาพ แรงเงาของรูปต่อไปนี้

3.17.    A' ∩ B' ∩ C

3.18     A  ∩ B  ∩ C'

3.19    (A ∩ B  ∩ C)'

3.20    (A ∩ B  ∩ C)

3.22    (A ∩ B  ∩ C') ∩ (A ∩ B'  ∩ C) ∩ (A' ∩ B  ∩ C ) 

3.23    (A ∩ B'  ∩ C') U (A' ∩ B  ∩ C') U (A' ∩ B'  ∩ C ) 

3.24     U

3.25    (A ∩ B  ∩ C)' ∩ (A U B  U C)

3.26    A U B U C

3.27  (A ∩ B ∩ C ) U C - B

3.28  (A ∩ B ∩ C ) U ( B ∩ C ' )

3.29  ( A ∩ B )  U  (B - (C ∩ A ) )

3.30  ( A - B ) U ( B- C )

3.31  [( A - B) - C ]  U  (B ∩ C )

3.32  ( A - B )   ∩  ( C - B  )  

3.33 ( A U C ) ' ∩ B               จาก GERAK GEMPUR 2010 SET-3

อ้างอิง ข้อ 3.17 - 3.25  จาก คณิตศาสตร์เบื้องต้น หมวดวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์

มหาวิทยาลัยศรีปทุม    ISBN  947-8292-34-7